Формат за разпечатване

[Mysterious]

Здравейте!Имам нужда от помощ за една задача по ЛААГ ,която ви представям чрез линка по-долу.Ще съм много благодарна на всеки който може да ми помогне,защото само се лутам в търсене на правилното решение,но до никъде не стигам.

Тук е задачата тъй като не мога да я прикача,защото ми дава,че няма място ?

[Митко]

Качи я поне в dox.bg или някъде другаде, където не са необходими регистрации.. когато искаш помощ, се опитай да не създаваш допълнителни пречки.

[Mysterious]

Извинявам се  ето я задачата качена в dox.bg

[Митко]

Позабравил съм нещата, но доколкото си припомних за да образуват база,трябва да са линейно независими и да са пораждащи :
За да са линейно независими трябва λ1*((1,0);(0,-1)) + λ2*((01);(-1,0)) + λ3*((0,0);(1,0)) + λ4*((0,0);(0,1)) = ((0,0);(0,0)) - нулева матрица 2x2, да е изпълнено само когато λ1=λ2=λ3=λ4=0.
Правиш си система с уравнения за четирите елемента на матриците λ1*1 + λ2*0 + λ3*0 + λ4*0 = 0 от тук идва че λ1*=0, като направиш уравнения и за 4-те ще получиш че λ1=λ2=λ3=λ4=0, така доказваш че са линейно независими.

След това за да докажеш че системата е пораждаща, което значи, че всеки вектор от нея, трябва да може да бъде представен чрез матриците A1,A2,A3,A4. и трябва да решиш система подобна на горната:
а*((1,0);(0,-1)) + b*((01);(-1,0)) + c*((0,0);(1,0)) + d*((0,0);(0,1)) = ((a,b);(c,d));

след това за да намериш координатите на матрица B (не съм 100% сигурен за последното) мисля че трябва да решиш още една система x*((1,0);(0,-1)) + y*((01);(-1,0)) + z*((0,0);(1,0)) + t*((0,0);(0,1)) = ((2,1);(1,3));

Може тук-там да имам грешки или неточности, ако има някой по разбиращ да пише.

[Marta]

Привет, колеги. От много време не съм посещавала форума, за което се извинявам.

Написаното от Митко за установяването на линейна независимост е вярно. Всичките 4-ри коефициента в линейната комбинация на въпросните 4-ри матрици, приравнена на нулевата матрица от същия тип, трябва да бъдат равни на нула, за да бъдат тези 4-ри матрици линейно независими. С други думи, системата хомогенни линейни уравнения, която се получава за ламбдите, е определена - има само нулевото решение.

Относно проверката дали 4-те матрици образуват пораждаща система - в общия случай трябва да се провери дали матричното уравнение
x*((1,0);(0,-1)) + y*((01);(-1,0)) + z*((0,0);(1,0)) + t*((0,0);(0,1)) = ((a,b);(c,d))
има решение (а в такъв случай то ще бъде единствено, защото матриците ще се превърнат в база) за коефициентите x, y, z, t в линейната комбинация. Матрицата ((a,b);(c,d)) е произволна квадратна матрица от 2-ри ред, т.е. a, b, c, d са произволни реални числа. След приравняване на всичките 4-ри елемента на матриците от двете страни на равенството, отново се получава система от 4-ри линейни уравнения, която ще бъде определена (т.е. с единствено решение). Решението на тази система (x,y,z,t) са точно координатите на произволна матрица във вече базата от 4-те матрици, дадени в условието на задачата. За координатите на конкретната матрица, които също се търсят в задачата, можете да заместите a, b, c, d със съответните елементи на тази матрица и така да получите стойностите на x, y, z, t, които ѝ съответстват.

Приемното ми време за консултации до края на А-триместър е:
понеделник, 13:30 - 14:15, 238 каб.,
петък, 10:00 - 11:30, 238 каб. (на 22.11.2013 (петък) консултациите ще се проведат от 10:30 - 12:00).
Заповядайте.

[chemi]

Ако студентите знаят, че квадратните матрици от 2-ри ред образуват 4-мерно векторно пространство, тогава само линейната независимост на дадените 4 вектора или само това, че те образуват пораждаща система вектори, е достатъчно да се заключи, че тези вектори образуват база. Това е така, защото база е всяка максимална линейно независима или всяка минимална пораждаща система от вектори.

[Marta]

Така е. Затова писах в "общия случай". В случай, че се интересуват как се доказва, че дадена система е пораждаща (без да се интересуват дали е база).