Формат за разпечатване

[Nikolay]

Изказвам благодарност на Добромир, за изложеното решение.
Той е намерил много свойства на ф-ята f, както е изградил
правилна хипотеза - работното множество е А={0,1,..,к-1} и трябва
да се установи какви стойности приема f в това множество, защото те
определят броя на функциите.
Искам да уточня, че има само една неточност - двойките (m,n) са
наредени. Всъщност, той е отбелязал разликата между двойките, чрез
-(0,1) и (1,0) (виж решението), т.е. неточността е само в пресмятането на броят им
- всичко останало е направено.

Ето едно "друго" ( идейно е същото като на Добромир, но не се
въвежда помощна функция F(n)) решение:
1) f(n+k)=f(n)+k -> f(n+km)=f(n)+km, n,m oт N{+0}.
2) Нека сега 0=<p=<k-1 и f(p)=kq+r, q e oт N{+0},0=<r=<k-1.
Следователно

p+k=f(f(p))=f(kq+r)=f(r)+kq -> q=0 или q=1 ->

f(p)=r, f(r)=p+k или f(p)=r+k, f(r)=p (<=> F(n)=m, F(m)=n) )
( Това "или" показва защо е необходимо да се разглеждат наредени
двойки (n,m) )
И в двата случая p<>r, koето показва, че А={0,1,..,к-1} се разбива
на наредени двойки (различни) числа. На едно разбиване -> една функция, а на различни разбивания -> различни функции.
На всяко разбиване

3)Обратно, на всяко разбиване от горния тип -> точно една функция,
продължена върху N{+0}. чрез f(n)=f(q)+ks.
4) Tърсеният брой е равен на разбиванията на А на наредени двойки.

Имаме к! пермутации на ел. 0,1,..,к-1. Във всяка от тях поставяме скоби
на последователните двойки числа. Премахваме тези, които пермутират, без да разменят позициите на елементите на всяка двойка - (к/2)!.

( Примерно за к=4

(0,1,2,3) -> ( (0,1) (2,3) ) = ( (2,3) (0,1) ) <> ( (1,0) (2,3) ) и.т.н., т.е. за всяка пермутация имаме точно (к/2)! неразличими от нея. )

Търсеният брой е x.(к/2)!=k! =>

x=k!/(к/2)!=C(k,k/2).P(k/2).

Неточното изчисление се е получило, понеже чрез C(k,k/2).P(k/2) вече
са покрити всички различни наредени двойки - това се дължи на

C(k,k/2) - бр. разбивания  на А  на 2 класа по к/2 ел. множества. Примерно, за някое разбиване в първото множество имаме 1, във второто
0, двойката (1,0) е образувана. За някое друго разбиване е възможно да имаме точно обратното (понеже C(k,k/2) са всички такива разбивания, като тук не е съществено, че са ненаредени, понеже конструкцията на Добромир е съпоставяне на всеки ел. от първото мн., ел. от второто мн., т.е. така се описват всички двойки. Трябва да се изключат пермутиращите, непроменящи своите координати двойки - (k/2)! ).


Заб. 1. Задачата е на Николай Николов - ИМИ на БАН .Може да се
намери в книжката "Функционални уравнения и неравенства", изд. "Макрос", 2003г. , зад. 1.
Заб. 2. За к нечетно ест. число, не съществува f, такава че да удовлетворява функ. уравнение. При к=1987, задачата е давана на
Международна Олимпиада по Математика (разбира се през 1987 г. )
Заб. 3. Задачата не се счита за трудна, понеже до хипотезата се достига лесно (след това може да се докаже с индукция),т.е. не се изискват специални знания (сравни с зад. 4 МОМ, 1999)
за решението й.

[Dobromir]

Съгласен съм с поправката.