argon bulletin board

Експертно търсене  

Новини:

Автор Тема: Задача от IMO 2004 in Greece  (Прочетена 1337 пъти)

Nikolay

  • Неактивен Неактивен
  • Публикации: 62
Задача от IMO 2004 in Greece
« -: 17.07.2004, 20:47:00 »

Понеже във форума има доста фенове на алгебрата, на вашето внимание предлагам следната задача от Meждународната олимпиада:
     Нека a,b,c са  реални числa такива, че  ab+bc+ca=0 .
Намерете всички полиноми с реални коефициенти, за които f(a-b)+f(b-c)+f(c-a)=2f(a+b+c).

[This message has been edited by Nikolay (edited 17-07-2004).]
Активен
Nikolay D.

BORIME4KA

  • Неактивен Неактивен
  • Публикации: 86
    • http://psabev.blogspot.com
Задача от IMO 2004 in Greece
« Отговор #1 -: 09.08.2004, 04:23:00 »

Ето един: f(x)=0
Активен

BORIME4KA

  • Неактивен Неактивен
  • Публикации: 86
    • http://psabev.blogspot.com
Задача от IMO 2004 in Greece
« Отговор #2 -: 09.08.2004, 04:54:00 »

Айде по-сериозно, то и без това никой май не пише по тази тема. Знаем следната формула:

а^2 + b^2 + c^2 = -2 (ab+bc+ca), откъдето следва, че:

a^2 + b^2 + c^2 = 0

Ако a=b=c, то f(x)=0 върши работа, както споменах в предишния пост.
Ако b=c (поради симетричността е валидно за всеки две променливи), то f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = f(a) + f(0) + f(-a) = f(a) + f(-a). Накратко, f(a+b+c) = f(a), следователно

f(a) + f(-a) = 2f(a) => f(a) = f(-a), т.е. симетрични функции.

Дотук и аз се сетих.
Продължението - тук:
http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg23285.html

(ако някой знае италиански и математика, ще го разбере)

Важното е да се проявява интерес!
Активен