Zdravejte, kolegi!
Makar i funkcionalniqt analiz vyobshte da ne mi e prioritet:) (zanimavam se s algebra!) , eto edno reshenie bazirano samo na zdrava logika, definicii (vzeti ot
http://mathworld.wolfram.com/ )i (malko) znaniq ot analiz 3 (za tezi, koito sa ot nashiq fakultet!). A i syshto taka schitam za redno da si zashtitq otlichnata ocenka po analiz:)
Predi tova nqkolko definicii ot wolfram ( prekrasen matematicheski sajt. Tam sa izlozheni definicii , teoremi (bez.dok), izvestni rezultati).
S glavni bukvi oznachavam elementi ot linejnoto prostranstvo L (koito se narichat vektori), a s malki skalari ot poleto, kydeto e definirano L.
S R oznachavam poleto na realnite chisla, a s C poleto na kompleksnite.
Def 1. Wektorno prostranstvo L snabdeno s norma, se naricha normirano prostranstvo.
Def 2. Normata e funkciq (izobrazhenie ot L->R), udovletvorqvwasht slednite 3 swojstwa:
1) ||X||>0, ravenstvo pri nulew wektor X;
2) ||kX||=|k| ||X|| , k - skalar ;
3) ||X+Y||<=||X||+||Y||;
Def 3. Neka L e linejno prostranstvo nad poleto nad realnite chisla.
L e ewklidovo prostranstvo, ako e opredelena bilinejna funkciq nad L (izobrazhenie ot LxL->R) udowletvorqvasht slednite 4 usloviq:
1) (X,Y)=(Y,X);
2) (X+Y,Z)=(X,Z)+(Y,Z);
3) (kX,Y)=k(X,Y);
4) (X,X)>=0, rawenstvo pri X=0;
Zab. Ako L e nad poleto na komleksnite chsila C, uslovie 1) se izmenq, kato se wzeme kompeksno spegnatoto na (Y,X). Shte izlozha reshenie, kogato L e nad R, za C podhodyt e podoben (shte sa radvam, ako go razpishete samostoqtelno).
Reshenieto na zadachata se dostiga chrez slednata:
Teorema. Neka e dadeno normiranoto prostranstvo L, chiqto norma udovletvorqva dopylnitelnoto uslovie:
||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2||x||^2+ 2||y||^2.
Togava syshtestwuwa bilinejna funkciq (funkcional) LxL->R udovletworqwashta slednite 4 usloviq:
1) (X,Y)=(Y,X);
2) (X+Y,Z)=(X,Z)+(Y,Z);
3) (kX,Y)=k(X,Y);
4) (X,X)>=0, rawenstvo pri X=0;
Dokazatelstvo. Da definirame funkcionala po sledniq nachin:
(X,Y)=(0.25)*( ||x+y||^2 - ||x-y||^2), kydeto ||X|| e normata v L.
Usloviqta 1) i 4) se proverqwat neposredstweno.
Za uslovie 2 imame:
(X,Z)+(Y,Z)=(0.25)*( ||x+z||^2 - ||x-z||^2 + ||y+z||^2 - ||y-z||^2 )=
= (0.5)*(|| (x+y)/2 +z ||^2 - ||(x+y)/2 - z||^2=
= 2( (x+y)/2, z)
Ako wzemem Y=0, poluchavame (X,Z)=(2*(X/2), Z), ponezhe (0,Z) =0 ot definiciatq na funkcionala.
Interesno e uslovieto 3) . Ot dokazatelstvoto na 2) e qsno, che k trqbwa da ima vida k=m/2^n, t.e. k e racionalno.
Kak shte dokazhem, che 3) e validno za vsqko realno chislo? Ami izpolzvame fakta, che mnozhestvoto
na racionalnite chisla e gysto i sledovatelno, mozhem da izberem redica ot racionalni chisla, klonqshta kym
wsqko realno chislo. I razbira se teoremata, che v normirano prostranstvo ||kX+Y||
i ||kX-Y|| sa neprekysnati otnosno k. Sledovatelno (kX,Y) e neprekysnata. S tova 3) e dokazano.
Sledstvie. Normiranoto prostranstvo ot uslovieto na zadachata e evklidovo.
Eto kakyv vypros porodi v men tazi zadacha. Neka e dadeno normirano prostranstvo L. Da se dokazhe ili oprovergae slednoto tvyrdenie: L udovletvorqva dopylnitelnoto uslovie ot zadachata, ako syshtestvuva funkcional udovletvorqwasht gornite 4 usloviq.
Komentar. Eto kak se dosetih za namiraneto na tozi funkcional (vinagi sym smqtal, che razbiraneto na proizhoda na edna ideq e naj-dobriqt podhod za obuchenie): trygnah ot definiciqta na evklidovo prostranstvo. Stana mi qsno, che ot dopylnitelnoto uslovie trqbwa da opredelq funkcionala.Polozhih f(x,y)=t.(x+y)^2 +k.(x-y)^2, t i k sa ot R, ponezhe samo tova "pravilo" znaem. I zapochnah da smqtam formalno, kato prieh x.y=0 i t. n. Taka namerih k=-t=0.25 s nqkoj polaganiq.
Ot tam e lesno. Za uslovieto 3) se setih ot lekciite na doc. Tolev po Analiz 3. Izpolzvam sluchaq da go pozdravq!
P.S. Napisvaneto na vsichko tova mi otne okolo chas, sega shte trqbwa da navaksvam s cheteneto i pisaneto na proektite:)
Radvam se, che vyv foruma se publikuvat interesni zadachi, makar dosega vse oshte nikoj da ne e dal reshenie na zadachata ot IMO 2004. Skoro shte publikuvam moeto reshenie.
Izvinqvam se, che publikuvaniqt post e s latinsko pismo.
S pozdrav:
Nikolay Dichev
18.11.2004
TUM, Garching, Germany
[This message has been edited by Nikolay (edited 18-11-2004).]
Автор
Тема: Една задача от функционален анализ (Прочетена 4412 пъти)